針對一類拋物微分方程的解非存在性的方法

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  摘 要:對于一類(冪類非線性)拋物型偏微分方程,我們找到證明解非存在性的一種方法,并且把它擴展到n次偏微分方程上,與此同時,再用橢圓偏微分方程解的穩定條件,進一步限定這類拋物型偏微分方程解非存在性的條件。
  關鍵詞:拋物型偏微分方程;非平凡弱解;Young不等式;穩定弱解
  1 緒論
  本文討論了一種求非線性偏微分方程解和不等式的先驗估計的方法。目的是應用這些估計來尋找可解性的必要條件。這種方法簡單地基于測試函數和參數,涵蓋了一類廣泛的非線性問題,我們解決了解的不存在問題。
  近幾年來,偏微分方程組和方程組的不存在定理得到了廣泛的關注。關于這一主題有相當廣泛的參考書目。對于擬線性拋物問題,請感興趣的讀者可以看文獻[31],并參考文獻[7,11,20,24]。這些貢獻實際上包括拋物線演化問題的大多數主要參考書目來源。對于雙曲線方程和系統,感興趣的讀者可以參考文獻[10,16,17,18,19]。一些證明橢圓、拋物線和雙曲線問題解不存在的方法大致是基于比較方法或相關能量泛函的研究。例如,請參閱文獻[32]和其中的橢圓問題和引用非線性拋物線方程和雙曲方程的文獻[1,13,14,21,30]。
  對于具有特殊結構的演化問題[31],比較方法允許通過構造一個已知沒有解的適當參考問題來證明全局解的不存在。類似的想法也可以用于固定的情況。我們將要描述的方法與比較原理或能量泛函沒有直接關系,它基本上是基于在可能的解上找到最優的積分估計。簡單地說,我們證明不存在的策略如下:首先,我們證明了一些合適的局部積分估計,然后,通過研究了這些估計相對于問題的漸近行為進一步估計成期望的參數。眾所周知,這些思想在偏微分方程論中經常被使用,特別是當不知道解的可能行為的信息時,無論是在可能的奇點附近還是在無窮大(非線性Liou ville型定理),見文獻[3,4,12,22,23]。
  如上所述,“右先驗估計”的推導是基于檢驗函數的方法。在自然容許類中,測試函數的最優選擇導致了由我們的問題引起的非線性容量。我們指的是與非線性微分方程相關的非線性容量的精確概念的文獻[29]。對于不存在分析,只要找到這個容量的漸近性的第一項的最優估計就足夠了。測試函數的選擇取決于問題的非線性特性,取決于我們所處理的解的概念。特別是,對于固定的非線性問題,最優的不存在條件(例如“臨界指數”)在不同的函數空間中可能是不同的。我們提出的方法具有以下優點:簡單性、通用性和準確性。首先,所有的計算都很簡單。事實上,不存在問題被歸結為一組適當的代數不等式的分析。第二,由于我們不使用比較原理或能量泛函,我們可以研究一類廣泛的非線性問題的不存在,包括高階非線性雙曲不等式。最后,在所有解決方案中,這些結果都是最優的。當然,通過改變這個類(在額外的假設下),這些結果中的一些可以改進。在這方面,比較文獻[19]的結果。
  本文的我們主要關注冪類非線性,所提出的方法也可以應用于更一般非線性。是否可以使用一類方法對各種相關非線性問題拋物線(或雙曲線)描述給定類型非線性(例如冪類非線性)的解的不存在條件。本文第一部分是我們研究了RN上的平穩非線性不等式解的不存在條件,第二部分是研究在橢圓微分方程穩定解的條件下拋物微分方程的解的不存在條件又是怎么樣的。
  2 非平凡弱解
  這一部分是關于演化方程和不等式的研究。對于高階問題也可以得到各種推廣,見文獻[24,27]。我們指出,我們的方法和其他已知方法的主要區別之一在于,對于半線性問題,我們不假定問題的解我們正在考慮的是非負的。我們的主要目標是證明問題解的局部積分估計,然后在弱解的定義中選擇合適的測試函數為了獲得一個最優的不存在的結果。顯然,我們的測試函數現在將依賴于對我們的一些結果的證明的分析將呈現,表明我們沒有對所涉及的微分算子的類型作出任何特殊的假設。
  這一事實使我們能夠用同樣的方法研究幾類不同的不等式。作為一個例子,我們提到了典型的例子。
  又由于且由積分的收斂性,我們有,于是我們可以得到。于是u≡0。
  3 穩定弱解
  我們由文獻[2,6,8,9,15]可知道橢圓偏微分方程的穩定解不存在的條件,我們可以嘗試的利用橢偏微分方程的穩定性條件來更進一步加強拋物微分方程的解的條件。同樣可以用文獻[25,26,28]的方法來證明。
  所以,這與u>0矛盾,證畢。
  這里我們觀察到當θ=1時是最優的情況,即要求N+1-2q+2γq-1<0才能滿足(3.11)。
  于是當1+2N<q<1+2(1+γ)N-1時,我們沒有穩定的非平凡弱解。
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  作者簡介:熊威(1994— ),男,漢族,湖南邵陽人,碩士,學生,研究方向:偏微分方程。
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